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Outil Aide concernant le calcul de probabilité - planification

  • Auteur de la discussion DeletedUser57030
  • Date de début

DeletedUser57030

Guest
Bonjour à tous,

Tour d'abord, j’espère avoir posté dans la bonne section du forum, sinon je remercie par avant le modérateur qui aura déplacé le sujet à sa bonne place.

En lisant bon nombre de messages sur le forum, je fus frappé mais malheureusement pas si surpris que cela, par la quantité de gens se plaignant de ne pas avoir eu tel ou tel bonus x4 sur colonie après mainte production, pas eu de bonus Himeji après X combats etc.

Le fait est que beaucoup ignore le principe de base de la probabilité, ni ne sait comment la calculer. Nous ne sommes pas tous des Louis d’or, et il est normal que celui ou celle n’ayant pas eu la formation adéquate pour répondre à cette question puisse ne pas savoir le faire, nous sommes d’accord la dessus, c’est pourquoi je propose un tutoriel avec formule générique à la clé pour bien comprendre comment tout cela se calcul.

Avant de débuter mon propos, un peu de recentrage sur les probabilités.

En théorie des probabilités, deux lois fondamentale permettent de modéliser les gains et les pertes (ou plutôt dirai-je le « non gain » car on ne perd rien dans FOE, on ne gagne pas le bonus c’est tout).

La 1ere s'appelle la loi de Bernouilli, qui schématiquement, va dire qu'elle est la probabilité de gagner a un jeu du style pile ou face (ici, ça sera gagner ou pas gagner de récompense avec himeji, relique, bonus x4, prix d’un évènement, etc.).
Cette loi a été amélioré dirons-nous, avec la loi Binomiale, qui n'est autre que la loi de Bernouilli mais pour n lancés de dés consécutif (même commentaire, remplacer « lancé de dès » par ce que vous voulez, sauf la belle-mère, ca marche pas, on gagne jamais avec elle).
Voici comment tout cela s'exprime en maths:
soit k succès dans une répétition de n expériences, X notre variable aléatoire (ici Binomiale, mais dites vous qu'il existe tout un tas d'autre loi, mais faut bien l'écrire en langage maths, donc X), P ( ) pour probabilité de ..., et enfin p est la probabilité de gagner (p est toujours donné dans le jeu, c’est simplement le % de chance d’avoir la récompense, le bonus etc.)

p(X=k)=(nk) p^(k)*(1−p)^(n-k).

(nk) est le coefficient binomial = n!/(k!(n-k)!)

Avec n ! (n factoriel) = n * n-1 * n-2 * n-3 etc . Par exemple 4 ! = 4*3*2*1 = 24. Et par convention, 0 ! = 1. Acceptez-le simplement.

Pour plus d'info: https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale

Comment utiliser cette formule suivant les différentes questions que l’on se pose ? En lisant la suite pardi.

a) Quelle est la probabilité qu’après n productions/tentatives/essais, je n’ai rien gagné ?

Reprenons la formule et explications d’avant, j’ai dit que le « k » était le nombre de succès, par conséquent ici, k = 0 car on échoue lamentablement à chaque fois (n’en soyez pas fier). Hop on remplace k par 0 partout dans la formule.

On obtient p(X=0)= (1-p)^n

Facile non ? Voilà la 1ere formule générique.

Exemple d’utilisation :

Je lance par jour 10 productions dans la colonie vikings et j’ai un bonus x4 de 20% (=0.2)

Quelle serait la probabilité de n‘avoir rien reçu en bonus x4 aujourd’hui ?

(1-0.2)^10 = 11% environ. Et oui, 11% c’est peu et à la fois beaucoup.


b) Lors d’un événement, un prix m’intéresse particulièrement. Combien de coffres dois-je ouvrir pour avoir une bonne probabilité d’avoir mon prix ?

Faisons un peu de planification. Lors de chaque événement, il y a des prix quotidiens qui peuvent nous intéresser, la question est de savoir combien dois-je économiser en ressource événementielle (actuellement à l'heure où j'écris ces lignes ce sont les boissons énergisantes) pour avoir ce que je désire avec une bonne probabilité ?

Stop, qu’est-ce qu’une bonne probabilité ? Le joueur que je suis dira à partir de 50% donc une chance sur deux, c’est déjà cool. D’autre dira, non non non je veux être quasiment certain de mon coup car je veux trop trop trop ce petit cadeau, alors met le paquet et augmente moi ça a 90% de chance d’obtenir ce que je veux. Ce pourcentage, le Seuil que j'appelerai S par la suite est donné par vous même, c'est vous et vous seul qui déterminerai votre seuil. Personnellement, quand je veux quelque chose, je met le seuil haut, 80 - 85 - 90%.

Reprenons la formule de départ, notre lettre k pour désigner un succès aura ici son importante, je veux au minimum 1 succès. On connait toujours la probabilité p de gagner un cadeau, qui est toujours donné par le jeu, mais alors que reste-il d’indéterminé? Le « n », à savoir le nombre de fois que je dois ouvrir un cadeau, de jouer, pour atteindre l’objectif.

La formule change un peu :

p(X>=1) => S (S=50% ou bien S=90%) comme dit avant pour les deux exemples. En d’autre termes, j’essai ici de déterminer le nombre d’ouverture de coffre (le n) pour avoir au moins 1 succès dont la proba est d’au moins 50% (ou 90%, peut importe).

Or, et la encore je passerai les explications pompeuse, une facilité de calcul des proba nous dit que p(X>=1) = 1 - p(X=0), et on retrouve donc une partie du calcul de la question a)

Cela nous donne p(X>=1) => S

équivalent à 1 - p(X=0) => S

équivalente a 1 - (1-p)^n => S

Maintenant, voici la 2eme formule générique après quelques étapes algébrique, afin d’isoler notre n

n => ln(1-S) / ln(1-p)

Remplacer le 1-S par 0.5 si vous voulez 50 % de chance au moins, et 1-S par 0.1 (0.1 car c’est 1 – 0.9) si vous voulez au moins 90% de chance de gagner le lot.

Remarque : ln est une fonction mathématique, log népérien, et je vous incite d'utiliser ce lien utile pour les calculs avec log népérien : https://www.solumaths.com/fr/calculatrice-en-ligne/calculer/ln qui est facile d’utilisation, ou alors Excel, calculatrice collège lycée; à votre convenance.

Alors, un petit exemple, admettons j’ai 12% de gagner le lot que je veux, combien de fois je dois ouvrir le coffre pour avoir au moins 50% de l’avoir : la réponse est 5.4 coffres que j’arrondi à 5.

Pour 90%, il faudra 18 ouvertures de coffres. Ça chiffre, mais maintenant que c’est quantifié, vous pourrez planifier les économies de monnaie événementielle pour avoir vraiment ce que vous désirez, car vous aurez quasiment la certitude d'avoir le lot.


Avec ces deux formules, on peut aller plus loin et déterminer ce qui est le rentable à faire comme stratégie pour tel ou tel événement, GM etc.

J’espère que certains auront une utilité, ou au moins auront un peu mieux compris comment des probabilités se calculent et fonctionnent.

Je suis ouvert a toute discussion, s’il y en a.

EDIT 09/08/2019:
Suite à une discussion sur le forum, je complète mon tutoriel avec un 3eme élément d'aide concernant le calcul de probabilité.
Lorsqu'on parle de probabilité de gagner ou de perdre, par exemple 25% avec l'Himeji, et que l'on fait des statistiques soi meme pour savoir si on s'approche de ces 25% ou pas pour controler la véracité des pourcentages, il faut avoir à l'esprit que l'on travaille avec des loi de probabilités qui suivent certaines regles, et que pour 100 essais, monsieur X aura peut etre eu 22% de gain, et que monsieur Y aura peut etre eu 28% de gain. Bug dans un cas, chance dans l'autre?
Hé bien la réponse est non.
Il existe une notion en statistique dite d'intervalle de confiance, ou bien on peut lire dans la littérature région de confiance. L'idée est de construire un encadrement, qui pour un niveau de risque acceptable, par exemple 5% de risque de me tromper, va me donner un intervalle dans lequel j'ai la même chance, la même je dis c'est important de le comprendre, d'avoir ce % de réussite.

Voici la formule:
l'intervalle de confiance à 95 % (donc 5% de risque de me tromper) sera comme suit : [p - (1.96*racine(p*(1-p)) / racine(n) ; p + (1.96*racine(p*(1-p)) / racine(n)]. Avec p qui est toujours notre probabilité de gagner, donné par le jeu, par exemple pour Himeji au niveau 10 c'est p = 25% (=0.25) et n le nombre de réalisation

Je ne rentre pas dans les détails de l'intervalle ici, cela n'a pas de plus value pour le joueur lambda, mais je reste évidemment dispo par MP pour tout vous expliquer si le coeur vous en dit.
Revenons a nos moutons, quel serait l'intervalle pour un Himeji niveau 10 et 100 combats:
je remplace p par 0.25 et n par 100 partout, et voici le résultat:
[16.5% ; 33.5%]

Comme quoi, celui a 16.5% de gain n'est pas si malchanceux que cela, c'est prouvé statistiquement :D
 
Dernière édition par un modérateur:

Cureindo

Navigateur
Salut, c'est parfaitement bien expliqué, il faudra juste remonter ce fil à chaque nouvel évent et mettre le lien comme réponse à chaque remarque du genre : "c'est injuste, j'ai fais X choses et je n'ai pas eu tel gain !" :thisifoe:
 

DeletedUser57030

Guest
Salut, c'est parfaitement bien expliqué, il faudra juste remonter ce fil à chaque nouvel évent et mettre le lien comme réponse à chaque remarque du genre : "c'est injuste, j'ai fais X choses et je n'ai pas eu tel gain !" :thisifoe:
Merci. Oui c'est un peu ce qui m'a poussé à écrire ce post, beaucoup de personne pense, à tord, qu'avoir 25% de chance d'avoir un cadeau signifie qu'en essayant 4 fois on a 100% de l'avoir. Ainsi, ce post à comme vocation de casser cette idée fausse, et de laisser l'opportunité à tout le monde de calculer ses propres probabilités. La théorie est posée, il suffira simplement de modifier un ou deux nombre et de faire via une simple calculatrice le calcul.
 

DeletedUser58721

Guest
Je peux envoyer l'algo en langage TI si qqun en a besoin :p

Sinon je cherchais, la fonction n parmi k existe pas sur tableur ??
 

DeletedUser57030

Guest
Dans le genre, il y a aussi le calculateur de loi binomiale de l’Irem de la Réunion : http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article655.
Bon lien effectivement, il existe des tas de calculateurs donnant directement le résultat sans s'ennuyer a le faire a la calculatrice :).
Toutefois, j'ai délibérément explicité les étapes du raisonnement afin que chacun puisse comprendre d'où venait la formule.
 

DeletedUser58721

Guest
Merci pour la fonction !
Et oui c'est bien de permettre à ceux que ça intéresse mais qui n'en ont pas suivi le cours de pouvoir comprendre comment fonctionnent ces mécanismes
 

Harley D

Forgeur d'or
Merci @stoik pour ta parfaite démonstration.
Il n'est pas rare de constater que beaucoup confondent probabilités et fréquences.
Toutefois, cela reste rageant de voir qu'une probabilité de 25% n'accorde à une personne que 5% (par exemple) même si on sait que globalement dans le jeu, les 25% sont respectés. C'est juste rageant quand nous sommes concernés, sans crier au scandale. ^^
 

DeletedUser57030

Guest
Merci @stoik pour ta parfaite démonstration.
Il n'est pas rare de constater que beaucoup confondent probabilités et fréquences.
Toutefois, cela reste rageant de voir qu'une probabilité de 25% n'accorde à une personne que 5% (par exemple) même si on sait que globalement dans le jeu, les 25% sont respectés. C'est juste rageant quand nous sommes concernés, sans crier au scandale. ^^
Oui c'est exact, fréquence et probablité sont deux notions différentes. Apres, on peut avoir 70% de chance de gagner quelque chose et perdre 10 fois de suite, c'est pas de bol et rageant en effet, mais la probabilité n'est pas nulle. Et c'est tout l'intérêt de savoir le quantifier, afin de se prouver à soi même que ce n'est pas anormal.
 

DeletedUser57030

Guest
Un grand merci stoik pour cet exposé très bien détaillé. Voilà quelque chose qui va me servir très souvent. :-)
Merci, je suis content de l'apprendre :)
C'est en effet surtout la 2eme formule qui sera la plus utile lors des événement.

Je me rappelle d'un événement carnaval avec 3 prix, on gagnait je crois 10 florins a 100 %, 50 avec 15% et 100 florins à 5%. J'avais donc calculé le nombre de "monnaie événementielle" (je ne me souviens plus ce que c'était) afin de déterminer ensuite quel coffre était le plus utile et a quel niveau de dépense, et il en ressortait que c'était le coffre a 5% si on ouvrait 12 ou 13 coffres de suite, pour un niveau de seuil donné. Voila donc un autre moyen d'utiliser ce tutoriel (j'ai donné les chiifres de mémoire, je pourrai les refaire proprement mais c'était simplement pour illustrer mon propos)
 

Harley D

Forgeur d'or
@stoik : je voudrai profiter de tes calculs sur les probabilités, voici mon problème :

sachant que sur la dernière quête des vikings on nous demande de produire 10 de chaque ressources.
sachant que selon toi il y a peu ou pas de différence sur le nombre d'obtention du x4 sur 2 productions de 4h que sur 1 de 8h
sachant que j'ai un bonus de 21% d'obtenir un x4.

Quelles sont les proba si je lance 4 productions de 4h chacune d'obtenir des x4 sur :
0 bonus sur 4 prod = ?
1 bonus sur 4 prod = ?
2 bonus sur 4 prod = ?
3 bonus sur 4 prod = ?
4 bonus sur 4 prod = ?

J'espère être claire, même si ce n'est pas mon prénom !
 

DeletedUser57030

Guest
@stoik : je voudrai profiter de tes calculs sur les probabilités, voici mon problème :

sachant que sur la dernière quête des vikings on nous demande de produire 10 de chaque ressources.
sachant que selon toi il y a peu ou pas de différence sur le nombre d'obtention du x4 sur 2 productions de 4h que sur 1 de 8h
sachant que j'ai un bonus de 21% d'obtenir un x4.

Quelles sont les proba si je lance 4 productions de 4h chacune d'obtenir des x4 sur :
0 bonus sur 4 prod = ?
1 bonus sur 4 prod = ?
2 bonus sur 4 prod = ?
3 bonus sur 4 prod = ?
4 bonus sur 4 prod = ?

J'espère être claire, même si ce n'est pas mon prénom !
Non, c'est Harley ton prénom, non? :D

Tu interprètes mal ce que j'ai expliqué dans l'autre sujet. Il n'y a, dans une constitution de stock, pas de différence en terme de ressources gagnées sur des productions de 4h ou 8h, car le nombre de production lancée est conséquent. Je n'ai jamais dit qu'il y avait moins de chance d'avoir du x4 sur 2 productions que sur une seule (ou bien 4 prod 4h vs 2 prod de 8h c'est pareil), la preuve:
je reprends ton 21% donc :
la probabilité d'avoir 0 bonus sur 4 productions de 4h est de 38.95% (ca répond deja a ta premiere question)
la probabilité d'avoir 0 bonus sur 2 productions de 8h est de 62.41%

Donc pour respectivement 2 et 4 productions lancées, qui est peu, tu as plus de chance de n'avoir aucun x4 en lancant deux productions, ce qui est totalement logique.
Or, et c'est la que je pense que tu n'as pas saisi mon propos, sur 50 productions de 8h ou 100 productions de 4h, in fine, tu vas avoir en moyenne exactement le meme nombre de ressource produites, car bien que tu lances moins de productions de 8h par rapports a 4h, le bonus x4 y appliqué compensera cette perte.
Mathématiquement, comment cela fonctionne? Comme je l'ai expliqué, pour calculer l'espérance d'une loi Binomiale (on dira simplement moyenne) il suffit de faire n * p => 50 * 0.21 = 10.5 bonus x4 sur production de 8h, ou alors 100 * 0.21 = 21 bonus x4 sur production de 4h

50 production de 8h avec 10.5 bonus x4 donne 50*10+30*10.5 = 815 ressources
100 productions de 4h avec 21 bonus x4 donne 100*5+21*15 = 815 ressources
On est en moyenne n'oublions pas.

Toi tu raisonnes que sur 4 ou 2 productions, ce qui fait que ton raisonnement est incorrect, si je pense avoir bien compris ce que tu essaies de montrer, je peux évidemment supposer a tort hein. Je me répète mais, comme je disais dans l'autre sujet, il faut mieux dans le cas d'un stock déjà constitué, utiliser des productions de 4h pour soit atteindre le seuil de ressource soit, soit pour produire les 10 ressources demandées de la derniere quete.

Sinon:
0 bonus sur 4 prod = 38.95%
1 bonus sur 4 prod = 41.42%
2 bonus sur 4 prod = 16.51%
3 bonus sur 4 prod = 2.93%
4 bonus sur 4 prod = 0.19%
 

Harley D

Forgeur d'or
Merci @stoik.
Autant j'ai toujours aimé les maths et plus particulièrement la trigo, autant les probas ont toujours été difficile à assimiler. Va savoir pourquoi.
En tout cas, jai bien compris (en tout cas j'espère) que si je dois produire lors de la dernière quête 10 ress de chaque, j'ai une chance (même infime) d'y arriver plus vite en tentant 2 prod de 4h au lieu d'1 de 8h pour chaque ress.